大家好，欢迎来到又一期的 physics latan 研讨会。今天我们非常高兴能邀请到 Claudia Dan。她是伦敦帝国学院阿卜杜勒·萨拉姆国际理论物理中心的理论物理学教授，将为我们带来一场关于引力作为一种有效场论的讲座。她的研究主要集中在有质量引力、修正引力理论以及量子引力。今天她能和我们在一起，我们深感荣幸。请记住，如果您在任何时候有任何问题，请举手提问，接下来我把时间交给 Claudia。请开始吧。
谢谢。非常感谢你，Daniel。感谢各位的到来。也感谢 ICTP 和 physics latam，我不知道你们是念 latam 还是 latam，但这很棒，很棒。
Latam。
是的，能在这里感觉很棒，即使只是远程参与，也许下次我可以亲自到场。所以今天我将谈论引力，首先从广义相对论作为一种有效场论开始。也就是试图理解，在没有直接途径了解自然界万物，包括量子引力的高能完备理论的情况下，我们如何仍然能够做出预测，如何仍然能够尝试在低能区将其理解为一种有效场论描述，并通过在量子有效场论的框架内使用算符来参数化我们知识的缺乏。所以，首先，我将尝试将引力描述为一个无质量自旋-2 场的有效场论，然后我们将探讨更标准的框架，即广义相对论加上算符修正作为一种有效场论。这简而言之就是我将要讨论的内容的精髓，我将从低能视角推导量子场论。
嗯，我会介绍一些方法，嗯，结果可能与你在各种不同课程中听到的相似，但我们会使用一些稍微不同的假设，所以我认为将所有内容置于一个框架中是很有用的。总的来说，我所做的一切都基于这样一个理念：理想情况下，我们希望能够触及物理学的新层次，并且理想情况下，在不远的将来，我们能更好地理解量子引力的完备理论是什么，无论是弦理论、F-理论、因果集、圈量子引力，还是其他理论，又或者这些理论的某些方面是相互关联的。但是，在不具体阐述自然界的高能完备理论的情况下，我们希望尝试在最终的实现与我们通过实验和观测所能接触到的可观测物理量之间建立一些联系。所以，无论是太阳系中的引力检验、标准模型及其超越的物理学，还是当前通过黑洞、引力波和宇宙学范式对广义相对论的检验，所有这些都是我们测试和探索周围自然界、并理想地触及物理学新层次的机会之窗。所以我们希望在这两者之间建立联系。在这些讲座中，我将从零开始构建引力作为一种有效场论，将其视为一个更基本但尚不周知的高能完备理论的低能有效描述。但是，即使高能完备理论可能尚不为人所知，它仍然必须满足一些我们可以共同认同的特定性质。我将在这些讲座的后半部分描述这些性质。这些性质对于我们可以在低能有效描述中构建的修正类型有着非常具体的影响，通常如此，对引力尤其如此。
因为我认为在更熟悉的情况下理解某些概念是很有用的，我将从一个自旋-1 场的理论开始，一个无质量的自旋-1 场，它最终将成为光子的理论，麦克斯韦理论也将由此产生。但我认为这样做是有用的，尽管我知道你们都非常熟悉这些，即推导出对于一个在任意维度中的无质量自旋-1 场，可以做些什么以及我们是如何得到麦克斯韦理论的一些指导原则，然后再进入引力领域，那里可以遵循完全相同的程序，然后更好地理解我们如何与高能完备理论建立联系。
实际上，我今天将要谈论的大部分内容完全可以推广到任意数量的维度。嗯，但为了简化，为了得到正确的维度和某些行为，我大部分时间将专注于四维洛伦兹时空，有时候我会在其他情况下工作，当那种情况发生时我会告诉你们，并且我将主要使用正号度规，这只是为了方便，单位也和我希望你们都习惯的一样。因为我们从一个洛伦兹时空开始，我们可以假设洛伦兹不变性和局域性，尽管我们生活的世界确实会自发地破坏庞加莱……嗯……不变性。呃，有一些强有力的理由让我们相信，例如基于粒子物理的标准模型，从根本上说，如果我们放大到尽可能小的距离尺度，我们应该在某种程度上恢复庞加莱不变性。所以这实际上是我的主要假设，即我们生活在一个真空态下具有庞加莱不变性的世界里。所以如果我们有一个洛伦兹不变性，我就可以开始定义在庞加莱群下，在洛рен兹群下具有特定表示的场，特别是我可以开始讨论什么是自旋的概念。我们不打算讨论自旋-0，因为我们都知道如何写出一个标量场的理论。这都是众所周知的。当然，你们也都知道自旋-1 场的理论是什么。但是让我来过一遍，因为规范不变性的概念由此产生，这对于我们更精确地理解一些东西很有用。
但首先不谈规范不变性，如果我有一个庞加莱不变性，我可以定义一个洛伦兹群的表示。所以我有一个自旋-1 场，它以一种特定的方式变换。我没有在那里写出来，但我相信你们都知道它在庞加莱变换下会如何变换。我也可以定义一个质量的概念。嗯，所以我会从一个无质量的自旋-1 场开始。这是在闵可夫斯基空间上一个众所周知的表示。
现在，假设局域性和前面提到的洛伦兹不变性，我能写出的自旋-1 场的动能项只能有特定的形式。所以我需要一个在拉格朗日量层面是标量并且是局域的东西。所以，一个有动能项的东西，是自旋-1 场的二次方并有两个导数，就像那样。我有不同的方式来缩并这些指标。所以我有这一项，那一项，原则上还有第三种可能性，但在这种情况下，在一个没有边界的平直闵可夫斯基空间中，经过分部积分后，它和那一项是一样的。所以没有任何歧义，我可以把这一项设为零并把它吸收到那里去。
那么现在，如果我考虑这个在四维空间中对于一个无质量自旋-1 场的动能项，这个矢量场优先有四个自由度，我们通过洛伦兹不变性知道，这些自由度必须伴随着一个与洛伦兹度规相关的动能项出现，因此其中一个自由度总是必须带一个负号。我们可以很容易地看到这一点。例如，如果我们考虑一个均匀的情况，空间导数为零，我只关注时间导数。那么我就有了矢量场各个分量的正确的动能项。这是矢量场的空间分量，矢量场的时间分量。所以我们看到，如果我们希望矢量场的空间分量和时间分量的动能项都是正的，我们就需要 $a_1$ 是……抱歉，实际上这应该是负的，然后这一个应该是 $a_2 + a_1$ 是正的。
现在我可以在静态情况下做同样的事情，我把时间导数设为零。在这种情况下，嗯，所以这必须是……反过来的。事实上，$a_1$ 必须是正的，抱歉，这里弄反了。然后你可以看到，$a_1 + a_2$ 必须是负的。所以你看到，如果你想让这个情况在均匀和静态两种情况下都稳定，你实际上会发现你不能让两者都成立。你需要为你的拉格朗日量中动能项的系数选择符号，而这些符号会相互矛盾。这是一个快速看到问题的方法，但我们可以用一个稍微更好的方式来做。但首先，我想解释一下为什么在动能项本身这个层面上，构建一个由鬼自由度组成的理论是如此病态。
所以一个鬼，就像我刚才介绍的那样。你可能以前听说过，它是一个动能项符号错误的自由度。嗯，就其本身而言，如果你只有一个动能项符号错误的场，原则上你可以重新定义你所有的约定，作为一个孤立的系统，它本身是没问题的。哈密顿量将是有上界而不是有下界，但原则上这只是一个约定问题。真正的问题是，如果你有一个理论，就像自旋-1 场的情况一样。如果自旋-1 场的所有分量都是动力学的。真正的问题是，如果你有多个自由度，它们的动能项符号相反，并且它们相互作用，因为这样一来，降低一个场的动能的机会可以被增加另一个场的动能所补偿，这会导致不稳定性。
这与例如快子不稳定性（tachionic instability）非常不同。我们经常听说快子不稳定性，它们可以是完全物理的并且在可控范围之内。例如，我们可能认为希格斯势在宇宙的历史中经历了一段快子不稳定性时期。原则上，你甚至可以认为宇宙当前或过去的宇宙学演化可能是由时间驱动的某种东西的迹象，可能与一个与快子不稳定性相关的轻微负斜率的势有关。所以，快子不稳定性是势中的一种不稳定性，即势的二阶导数可以是负的。呃，例如，如果你取一个标量场，让我这里只考虑一个单一的标量场，在这种情况下它有正确的动能项符号，但它有错误的质量项符号，所以它不应该是负的势，而势本身是像 $-m^2$ 这样的，所以你看到这里有一个不稳定的方向，但在那种情况下，不稳定性的尺度与势的二阶导数相关，并且可以是可控的。所以快子不稳定性告诉你，你正被推向你的势中的一个新最小值，那才是你应该开始量子化你的理论的地方。但是有一个尺度控制着这种不稳定性的程度，控制着你被推向势的新最小值的速度。这种在快子不稳定性中控制与不稳定性尺度相关的动力学的能力，与鬼不稳定性（ghost instability）非常不同。嗯，例如，在这里对于快子不稳定性，我可以让势的斜率，势的二阶导数足够小，使得它是一个非常可控的不稳定性。但在鬼不稳定性中，不稳定性或不稳定性的尺度与场本身的动量有关。所以原则上，你可以将动量驱动到你想要的任意大，从而导致任意快的不稳定性。这里除了场本身的动量之外没有其他尺度。所以原则上，你可以让一个场的动量任意小，由另一个场的动量任意大来补偿，反之亦然。这才是动能项本身就存在鬼不稳定性与快子不稳定性之间的关键区别。
为了更好地理解为什么在一个无质量自旋-1 场的情况下，如果不稍微改变做法，我们总是会遇到鬼不稳定性，最好的方法是思考自旋-1 场的横模和纵模。我们都知道，当然你们也知道，我们最终将为一个无质量的自旋-1 场恢复的是光子的理论。现在我们是经典地做这件事，但然后你也可以量子力学地做，所以我们将被引向电磁学，其中自旋-1 场对应于一个在真空中以光速传播的场，并且它必须以光速传播。沿着自旋-1 场的传播方向你没有任何涨落。我们知道这将是我们最终得到的结果。但如果我们一开始不知道这一点，我们可以想象有一个自旋-1 场，并将其自由度分解为横向和纵向。所以我将把我的矢量场写成一个横模，它满足横向条件。嗯，然后原则上我有一个额外的模式，我称之为纵模，我将其写成矢量场沿其传播方向的贡献。所以原则上，如果我处理一个任意的矢量场，并且我一开始不对速度施加任何约束，我可能会有沿着矢量场传播方向的涨落，这对应于这个纵模。现在做这个分解是有用的，因为我们会看到，一个无质量自旋-1 场通常出现的所有病态都被这个纵模所捕获，这就是为什么我们需要将它剔除， чтобы得到一个无质量自旋场的自洽理论。我们可以明确地做到这一点。我认为这很有用，不一定是为了电磁学，但它对于理解如何为广义相对论，或者说为自旋-2 场做这件事将是有用的。所以这是我之前提到的同样分解。我将把我的矢量场分解成一个横模，它满足这个横向条件。所以这不是一个规范固定项。这只是我将自由度分解为横向部分，然后我通过 $\chi$ 来捕获矢量场的纵向部分。原则上我总是可以这样做。
这告诉我，如果我看我之前写的动能项，并且只关注 $\chi$ 模，那么仅对于 $\chi$ 的贡献，还有一些 $\chi$ 和 $A$ 之间的混合项，以及一些 $A$-$A$ 交叉项，但让我现在只关注 $\chi$ 项，我得到的是一个实际上有 $\partial_\mu \partial^\nu \chi \partial_\mu \partial_\nu \chi$ 的东西，经过分部积分后可以对应于 $(\Box \chi)^2$。而这个 $(\Box \chi)^2$ 的系数是 $a_1 + a_2$。所以你这里有一个 $a_1 + a_2$ 的组合，这与我之前提到的，当我们将自由度的行为分解为均匀情况和时间平移不变情况时的情况有关。那样的话，在一种情况下我们需要 $a_1 + a_2$ 为正，而在另一种情况下我们需要 $a_1 + a_2$ 为负。所以这个组合 $a_1 + a_2$ 似乎与诊断我们理论中自由度的某些动力学有关。所以现在对于这个纵模，只关注这个。呃，我们可以看到这个自由度的运动方程将对应于作用在 $\chi$ 上的 $\Box^2$，前面有一个 $a_1 + a_2$ 我没有写下来。这对应于纵模运动方程中的一些项，它们带有更高阶的导数。它最高可以达到四阶导数。我们通过奥斯特罗格拉德斯基（Ostrogadsky）定理知道，一个有额外导数的场实际上与额外的自由度有关，这些自由度总是带有相反符号的动能项。呃，一个快速看到这一点的方法是，对于这个纵模 $\chi$，传播子是像 $1/\Box^2$ 这样的。所以我可以... 我这里没有笔。我实际上在圆周理论物理研究所做研究，我没有带笔。抱歉。所以我写不了任何东西。嗯，但是哦，让我试试。也许我可以写这个。 可能会有点笨拙。嗯，所以我可以把它写成，这里有一个 $a_1 + a_2$。然后我可以把它写成 $\chi \Box^2 \chi$。 抱歉。$\Box \chi$ 前面带一个负号。所以你可以看到， 这里的 $\chi$ 场的传播子是 $1/\Box^2$。我总可以把这个 $1/\Box^2$ 分解成两个有质量传播子之差。它是 $m$ 趋于零时，一个标准动能项传播子，我应该说，然后是另一个，它不仅是鬼，而且还是快子。所以它是一个鬼和快子的自由度。呃，我们可以更直接地看到它们，通过做一个场定义的改变。所以这里的场 $\chi$ 的运动方程，正如我提到的，对应于 $(\Box \chi)^2=0$，所以我原则上可以把它看作是引入一个你可能认为是拉格朗日乘子的东西，但它并不真的是拉格朗日乘子，因为它不施加约束，它实际上施加一个动力学方程，所以这你只要把它看作是变量的改变，所以与其直接写 $(\Box \chi)^2=0$，我通过另一个场 $\tilde{\chi}$ 的中介来写，并且设 $\Box \tilde{\chi}$ 等于零。所以这两个运动方程，它们确实是两个运动方程，它们不是约束，可以从那个拉格朗日量 $\tilde{\chi} \chi - \frac{1}{2} \tilde{\chi}^2$ 推导出来。所以你在这里看到的是，虽然你现在恢复了一个只包含二阶导数的拉格朗日量，这很好，它对应于一个在场空间中非对角的动能矩阵。它只有沿着 $\tilde{\chi} \chi$ 方向的分量，这意味着这个场空间动能矩阵的行列式总是负的。所以总会有一个正值和一个负值。
所以它们总是会以相反符号的动能项出现。如果我们愿意，我们可以通过对角化这个场空间动能矩阵来使这一点非常明确。所以如果我们对角化那个场空间，它只是对应于说 $\chi$ 对应于两个场的特定组合，而 $\tilde{\chi}$ 对应于另外两个场的正交组合。所以这个拉格朗日量可以写成 $\phi_1$ 的动能项减去 $\phi_2$ 的动能项，然后是两个场之间的一些相互作用。所以这两个场在质量项的层面上有一个混合，这里有快子和健康的质量项出现，但也有动能项，它们总是以相反的符号出现。这是一个著名的定理，斯特拉基（Ostrogadsky）定理，它告诉我们，如果你的理论中动能项直接带有更高阶的导数，那实际上在这些更高阶的导数中隐藏了额外的自由度，这些自由度总是带有相反的符号，因此总是不稳定的。它们总是导致鬼不稳定性。
所以，在一个有质量甚至无质量的自旋-1 场的理论中，这并不重要，我甚至没有引入这个场的质量会是什么，但仅仅在场的动能项层面上，我们看到我们总是会导致某种不稳定性，除非我们能找到一种方法让 $\chi$ 模式完全消失，这对应于关闭它的动能项，说它不再是一个动力学的自由度，这种情况就是如果我们施加 $a_1 + a_2 = 0$。这真正告诉我们的是，$\chi$ 不再出现在自旋-1 场的拉格朗日量中，所以如果我们做那个分解 $A_\mu \to A_\mu^{\text{trans}} + \partial_\mu \chi$，我甚至没有用 $A_\mu$ 是横向的这个事实，$\chi$ 不应该出现在自旋-1 场的拉格朗日量层面，因此拉格朗日量应该在这种平移下是对称的。换句话说，我应该有一个 $U(1)$ 对称性来确保自旋-1 场的稳定性。事实上，这在动能项的层面上，对于有质量的自旋-1 场和无质量的自旋-1 场都是成立的。这告诉我们，任何矢量场的动能项都必须具有麦克斯韦结构，即具有 $U(1)$ 规范对称性。然后在 W 和 Z 玻色子的情况下，例如，如果它们有一个质量项，那么你可以手动包含那个破坏对称性的质量项，但是动能结构应该总是满足规范对称性，这并不是因为我们要求一个理论满足对称性作为起始的指导原则，而是纯粹由稳定性考虑强加给我们的。所以我们别无选择，只能在动能项的层面上拥有规范对称性，如果我们想要理论是稳定的。我认为这对于我们处理自旋-1，自旋-2 场时会很重要，因为我们可以看到，理论需要具有的对称性水平并不是一个真正的选择。动能项直接告诉我们那个对称性应该是什么。所以让我，抱歉，让我把这个擦掉，如果我可以的话，否则它会一直在这里。 好的，
所以这只是总结一下我到目前为止所说的。如果我们处理一个洛伦兹矢量场 $A_\mu$，一个自旋-1 的自由度，它在四维空间中，但实际上在任何你想要的维度中都可以。假设局域性和洛伦兹不变性，矢量场的动能项必须用这两个东西来写。在任何我们想要的维度中都是如此。动能项将总是不稳定的。它将携带一个不稳定的鬼自由度，这是一种平均快速的不稳定性，即使在经典层面上也是如此，除非它在这种平移下是不变的，而它只有在这两个系数 $a_1, a_2$ 相互关联时才能在这种平移下不变。所以 $a_1 = -a_2$。在这种情况下，动能项将在那种平移下不变，这告诉我们动能项享有 $U(1)$ 对称性，而这个 $U(1)$ 对称性是为了确保理论的动能项的稳定性而推导出来的。所以假设你有 $a_1 = -a_2$，然后我为整体归一化做了一个约定选择，这不太重要。所以我们最终得到的就是麦克斯韦张量或法拉第张量。嗯，我不知道你怎么称呼这个。我称之为，你可以称之为法拉第麦克斯韦张量，矢量场的场强，你将恢复麦克斯韦的电磁学理论，如果它是一个无质量的自旋-1 场。所以如果你不开始也引入一个质量，否则你可以引入一个质量，然后你会看到纵模的动能项会出现在你有的矢量场的质量项中。好的。所以这是自旋-1 场的情况。我说这个不是因为我认为你会对恢复麦克斯韦理论特别兴奋，而是因为这对于我们理解原则上如何可以使用相同的指导原则来推导自旋-2 场的理论，在经典和量子层面上推导引力子的理论，以及你如何能看到广义相对论是如何从纯粹稳定的场论角度出现的，而不是从广义相对论的支柱中产生的，我认为这相当好，因为我们不需要从爱因斯坦的一些原则开始，关于协变性，关于其他类型的等效原理来推导广义相对论，它实际上比那更深刻，更普遍，仅仅要求一个自旋-2 场的场论是稳定的，就直接把你带到了广义相对论，而没有任何你可能认为在某种程度上更主观并且你可能想要挑战的潜在原则。所以我们将做完全相同的事情，这将引导我们构建引力作为一种有效场论，从零开始，然后研究它的修正。
所以，嗯，我想这是温伯格（Weinberg）在这里。我想你现在可能知道了，但让我再告诉你一次，我们实际上可以把广义相对论看作是一个有效场论。嗯，实际上，标准模型和广义相对论，我们可以把它们看作是一个有效场论中的领头项。嗯，所以它们只是一个无限级数中不同算符的第一个算符，所有这些不同的算符都将捕捉到我们对万物最终高能完备理论的知识的缺乏。理想情况下，我们很希望能把它们全部重求和，然后得到弦理论或者其他任何替代理论，但是，嗯，这当然是非常非常有挑战性的。
所以让我们从只考虑一个自旋-2 场开始。现在我们将从一个在闵可夫斯基空间中表示为对称张量场的自旋-2 场开始。同样，我在四维空间中工作，但这不太重要。真正重要的是能够有庞加莱群的表示。所以在庞加莱变换下，我的坐标有一些洛伦兹变换和一些平移。所以这是一个常数坐标平移，这是洛伦兹矩阵，洛伦兹 boost。嗯，然后我们知道闵可夫斯基度规在庞加莱变换下不变，我的自旋-2 场是一个变换起来像二阶张量的物体。所以它在庞加莱变换下像这样变换，我将进一步假设 $h_{\mu\nu}$ 在 $\mu\nu$ 下是对称的。
现在假设和我们对自旋-1 场所做的完全相同的事情，让我先写下我的自旋-2 场的动能结构可能是什么，我甚至不告诉你它是否有质量，在这个阶段我不会假设任何对称性，这只是一个无辜的自旋-2 场生活在闵可夫斯基空间中，我稍后可能想加一个质量，也可能不加，我不会加。但你可能想加，但就动能结构而言，嗯，我有不同的可能性来写下它，所以我就写 $(\partial h)^2$，嗯，$\partial h \partial h$，所以是两个导数作用在两个 $h$ 上，以这种形式，你可以通过分部积分写成不同的形式，但这很有用，在这种情况下，只有四种不同类型的项可以写下来，你可以很容易地开始写一些看起来有点不同的东西，但然后做分部积分，你会看到它最终会是这个样子，所以这是这两个东西的对称化版本。
那么现在原则上，在四维空间中，对于每一个 $\mu\nu$，如果它是一个对称物体，它将有10个不同的分量，因此原则上，这个物体中可能嵌入了10个自由度。现在你知道，嗯，你们都知道，我知道你们都知道，我们最终将从中恢复的是广义相对论，我知道我们都知道，在广义相对论中，与度规相关的波，引力波，可以有两个偏振。所以在四维空间中的一个无质量自旋-2 场中，确实有两个基本的自由度。所以如果原则上，我可以在那个物体中有10个分量或10个自由度，我们知道这太多了。所以长话短说，我认为我们可以理解这告诉我们，我们需要从中出现拥有四个局域对称性的需求。呃，每个局域对称性移除两个自由度。所以从 $h_{\mu\nu}$ 的10个自由度开始，你移除 $4 \times 2$，你移除8个自由度，你剩下2个自由度，这是一个无质量自旋-2 场在四维空间中正确的自由度数量，是广义相对论正确的自由度数量。所以这简而言之就是我们需要推导的，因为我知道你们知道答案应该是什么。嗯，就像在电磁学中，就像对于自旋-1 场一样，我们从一个四维空间中的矢量场开始，它原则上有四个分量。所以它原则上可以有四个自由度。真正的问题是 $A_0$，或者是纵模，或者是 $A_0$ 和纵模的某种组合，那是我们想要移除的鬼自由度。但为了移除它，我们实际上需要有一个局域规范对称性。局域规范对称性移除两个自由度。呃，因为它施加了一个第一类约束。第一类约束在相空间中移除两个自由度。所以我们剩下，对于自旋-1 场，我们剩下四个分量减去一个规范对称性，移除了两个自由度。我们剩下四维空间中电磁波的两个偏振，这是四维空间中电磁波，一个无质量自旋-1 场在四维空间中正确的自由度数量。现在同样，对于自旋-2 场也是完全一样的事情，只是我们将需要不是一个局域对称性，而是四个局域对称性，每个移除两个自由度。我们可以明确地看到这一点，嗯，在自旋-2 场的情况下，我们将做和我们之前做的相同的分解。但让我向你展示一下，我们如何能更明确地思考在自旋-2 场情况下这些潜在的分量和自由度。所以我们知道，我知道我们都知道，在广义相对论中，你的 $h_{\mu\nu}$ 中捕获的标准自由度是引力波的两个偏振，它们是横向自由度。所以如果我，在左手边这里，如果我有一个引力波直接穿过你的屏幕，直接穿过幻灯片，那么它只会导致沿着传播方向的横向方向发生改变。所以是沿着你的屏幕本身，这是一个沿着这个方向传播的引力波的侧视图。它们不做任何事情，它们不涉及沿传播方向的任何微扰，它们只在传播方向的横向方向上这样做。所以十年前被探测到的引力波，差不多现在一个月后就十年了，是纯粹的横模。嗯，原则上，可能还有另外四个自由度，如果这四个额外的自由度中的每一个都是鬼一样的，它们会伴随着，会有一个额外的自由度驾驭其上。所以，抱歉，如果这四个自由度中的每一个都带有超过两个导数，它们实际上会在每一个中隐藏两个自由度，所以会有八个额外的不稳定自由度。所以你可以在那里看到四个。但事实上，如果它们都是斯特拉加斯基（Ostrogadsky）类型的不稳定性模式，那么每一个中都隐藏着两个自由度。每一个都携带其自身潜在的病态的鬼不稳定性。所以原则上，除了我们能从线性化洛伦兹不变性的角度识别为矢量场的东西之外，还可能存在。那些是引起跨传播线和一个横向方向修改的模式。所以这里是一个横向方向，那里是另一个横向方向，但同时也沿着传播线。所以有两个看起来像矢量模式的自由度，然后此外，还可能有一个看起来像共形模式或呼吸模式的东西，这是人们实际上正在尝试用引力波探测的东西。嗯，所以它只在传播线的横向方向上，但它不保持体积。所以这是一种可能存在的稍微不同类型的模式。我们称之为共形模式，然后除此之外，还可能有一个纯粹的纵向模式，它只沿着传播线，它不会在横向方向上做任何事情。所以那只是象征性地思考额外的四个自由度，四个分量，并且每一个都携带一个额外的鬼。所以我们知道，如果这四个自由度存在，并且如果它们每一个都携带一个鬼，它们将导致不稳定性，所以我们需要找到一种方法，从自旋-2 场的动能项中将它们剔除，因此我们将需要有四个局域对称性。嗯，同样，看它们如何出现的最好方法是将自旋-2 场分解成一个横向部分，然后是一个纵向部分，因为我们现在处理的是一个可以表示为张量，一个洛伦兹张量的自旋-2 场，那么我们实际上可以把这个纵向部分写成一个矢量。所以它是一个矢量的导数。我们现在只在闵可夫斯基空间中。所以所有这些都只是偏导数。所以如果我只关注这四个横向模式，抱歉，四个纵向模式，这四个纵向模式的动能项可以通过这些不同算符的组合来捕捉。所以有一项是 $\Box^2 \xi_\mu$，另一项是 $\Box \partial_\mu \partial_\alpha \xi^\alpha$。所以把所有这些放在一起，我们看到，移除这里存在的所有更高阶导数的唯一方法是，这里有三阶导数，这里有三阶导数，这里有三阶导数。这将导致带有某些奥斯特罗格拉德斯基（Astrogradsky）鬼不稳定性（ghost instability）的高阶导数运动方程，除非我们让这个系数为零，那个系数为零，还有这个系数为零。为了实现这一点，我们需要对系数进行特定的选择，即 $b_1 = -b_2 = b_4 = -b_3$。
所以由此，我马上会给你们展示，我们用那个系数的选择，恢复了Lichnerowicz算符，也就是线性化的爱因斯坦张量。这最终将成为线性爱因斯坦张量，我将恢复线性化的爱因斯坦-希尔伯特理论。 它还告诉我们，如果我们有一个自旋-2 场的理论，我们需要最终使得 $h_{\mu\nu}$ 变换为 $h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu$ 时，这个自由度或者说这个分量不会出现在最终的拉格朗日量中，因此我们需要动能项本身，线性化的动能项，对于自旋-2 场，无论它是有质量还是无质量，都应该在 $h_{\mu\nu}$ 变换为 $h_{\mu\nu}$ + 这个项时是不变的，希望这与你所知道的，也就是线性化的微分同胚（diffeomorphism）非常相似。
所以再一次，抱歉，也许我之前说的是，你有 $\xi$ 的二次项，这里它们会携带四阶导数，然后是 $\xi$ 的线性项和这个的交叉项，那些会携带三阶导数，你需要所有这些都为零，因为所有这些否则都会是更高阶的导数。
嗯，所以用那个系数的选择，这是所有更高阶导数抵消的唯一方法，没有其他方法，我们确实恢复了 Lichnerowicz 算符，如果 $h_{\mu\nu}$ 是围绕闵可夫斯基度规的度规的一阶项，那么它就是线性化的广义相对论。
换句话说，我们从这里恢复的是 $H_{\mu\nu}$，然后是这个 Lichnerowicz 算符作用在 $H_{\mu\nu}$ 上，它有这个非常特定的结构，实际上，它的构建方式使得它在 $H_{\mu\nu}$ 变为 $H_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu$ 时是不变的，这并不是我们一开始就要求这个对称性存在。只是如果 $\xi_\nu$ 出现在动能项的层面上，它必然会带有更高阶的导数，因此它会携带一个奥斯特罗格拉德斯基（Ostrogadsky）鬼不稳定性，理论就会不稳定。所以对于一个自旋-2 场，唯一可能的理论是，如果动能项本身实际上在这种平移下是不变的，因此继承了在这个层面上看起来像是一个规范对称性，稍后它不会是一个规范对称性，但它在动能项的层面上看起来像是一个规范对称性，而且我们还没有说任何关于所有可能的项，质量项以及所有可能原则上本身会破坏那个对称性的东西，但这不重要，动能项本身必须满足这个对称性。所以我们看到，线性化微分同胚（diff）是由稳定性考虑强加给我们的，就是这样，它甚至不是由任何其他种类的基础原则强加给我们的，比如我们希望观测者看到什么。所以这不是从任何坐标变换不变性、等效原理考虑中得来的，它比那要基本得多，它仅仅是稳定性。
好的。所以现在我们已经理解了，对于一个自旋-2 场的动能项，我们需要有线性微分同胚不变性来确保稳定性，嗯，我们原则上可以只考虑自旋-2 场和无质量的自旋-2 场本身，而不与它相互作用。那没问题，但那就有点无聊了，因为我们就看不到那个自旋-2 场了。如果你想开始与这个自旋-2 场相互作用，我们能做的第一件事是考虑一个外部流，一个外部源 $T_{\mu\nu}$。所以通过考虑一个外部源 $T_{\mu\nu}$，我首先想到的是某种非动力学的东西。所以它真的只是一种探测这个理论的方式。它不完全是物理的，因为我们会看到，所有东西最终都必须是动力学的。呃，但现在，让我只考虑一个外部源。所以 $T_{\mu\nu}$ 是一个外部源，它使我能够探测这个自旋-2 场。在这种情况下，它只是无质量的，是一个线性的自旋-2 场，我将用这样的相互作用来探测它。那么如果我取线性化的运动方程，我就有了看起来像我的线性化张量的东西，它看起来是这样的，是 $\mathcal{L}_{en} = T_{\mu\nu}$。所以这看起来非常像线性的爱因斯坦方程，尽管我没有谈到爱因斯坦，我没有谈到坐标不变性或任何类似的东西。嗯，所以线性化微分同胚（diff）告诉我们，我们需要，线性化（diff）告诉我们，如果我将 $h_{\mu\nu}$ 平移 $h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_i$，我应该最终得到这里和那里都是不变的东西。我可以看到，如果这整个贡献是横向的，就会发生这种情况。所以要求这整个贡献是横向的，这恒为真。你可以取这个的横向部分，它会恒等于零，这无非就是线性层面的比安基（Bianchi）恒等式，这将要求这个外部源，外部流是守恒的。所以是我们在线性层面上对动能项所需要的对称性，要求如果你想在线性层面上探测这个自旋-2 场，你需要用一个守恒流来做，一个满足 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ 的东西。当然，这可能看起来非常类似于应力-能量张量的守恒，但它只是来自线性微分同胚，它甚至不是来自与庞加莱不变性相关的诺特定荷（Noether charge），这只是线性微分同胚对称性，在这个阶段是局域对称性。
所以，如果我把这里的 $T_{\mu\nu}$ 处处都看作是一个外部源，那么这一切都是有意义的。它只是我手动施加的东西，我不会在路径积分的层面上考虑相对于场进行变分，相对于包含在这个 $T$ 中的场进行积分，但那不是真实的世界。真的，如果我想考虑一些更物理的东西，我喜欢用来探测我的自旋-2 场的是我拥有的任何东西，但最终它需要是动力学的自由度。所以为了简单起见，让我只考虑一下，如果除了这个自旋-2 场，我还有一个标量场会发生什么。这是我能想到的最简单的事情。我喜欢让它们相互作用。所以我的标量场将是我与我的自旋-2 场相互作用的方式，只是作为我能想到的最简单的动力学自由度。所以如果我有一个标量场的最简单的作用量，我有我的标量场的动能项，我有一个标量场的势，或者没有。这不太重要。这是我能想到的最简单的事情。
我们都知道如何推导一个标量场的应力-能量张量，是 $T_{\mu\nu}$，由那个给出。你可以从庞加莱不变性，与之相关的诺特定荷推导出来，或者你可以用不同的方式推导，那似乎都很有道理。所以现在，守恒，在线性的意义上，线性 $h_{\mu\nu}$，$T_{\mu\nu}$ 的守恒只是 $T_{\mu\nu}$ 的偏导数守恒，作为一个方程，它告诉我第一项是这里的 $\Box \phi \partial_\nu \phi$，加上另一个交叉项，即那里的 $\partial^\mu \phi \partial_\mu \partial_\nu \phi$，然后从这里我将再次得到相同的项，然后是势的导数 $\partial_\nu V$，所以应力-能量张量的能量守恒，我应该说，实际上告诉我这个 $\Box \phi \partial_\nu \phi - V' \partial_\nu \phi$ 是零。嗯，但我们知道标量场的克莱因-戈尔登（Klein-Gordon）方程，标量场本身的运动方程是 $\Box \phi - V' = 0$，所以应力-能量张量本身在克莱因-戈尔登方程下必然是守恒的，所以这一切似乎都很有道理，拥有标量场运动方程是一致的，那也施加了应力-能量张量在偏导数层面的守恒，而应力-能量张量在偏导数层面的守恒是由线性的比安基恒等式或自旋-2 动能项层面上的线性化不变性所施加的。所以这似乎完全一致，并且告诉我们，引力子的朴素理论，你可以在经典层面或量子层面思考它。我们在这里做的所有事情实际上都是经典的，但我可以给每个人都戴上帽子，它就会变成量子的。做我们正在谈论的所有事情，在量子层面，作为一个物质，是绝对没有问题的。
所以，嗯，一个自旋-2 场与一个标量场耦合的朴素理论会是，我在这里有我的自旋-2 场的动能项，我在那里有我的标量场的拉格朗日量，和我在那里有的东西一样，如果我相对于标量场变分这个，我会得到克莱因-戈尔登方程，然后我可以尝试像我们之前做的那样将它们都耦合起来，$h_{\mu\nu} T^{\mu\nu}$，现在这个 $T^{\mu\nu}$ 我可以认为它是动力学的。它是那个标量场的 $T^{\mu\nu}$。它不是我想要的任何 $T^{\mu\nu}$。它是标量场的 $T^{\mu\nu}$，由那个给出。所以现在我们真的在自旋-2 场和标量场之间有了直接的相互作用。这些是三次相互作用，然后在这里可能有更多，在自旋-2 场和标量场之间。好的。所以那是我们想要的。我们得到了我们想要的。嗯，但在这种情况下，我之前说过，当我考虑这部分时，标量场的运动方程给了我那个克莱因-戈尔登方程，但如果我对自己诚实，当我把这个整个作用量作为我的作用量时，现在包括了自旋-2 场和标量场之间的相互作用，也就是我们想要的，那么我的标量场的运动方程就不再只是 $\Box \phi - V' = 0$ 了。因为我还需要相对于标量场变分这里 $T_{\mu\nu}$ 的贡献。所以除了我喜欢的那部分，我的标量场克莱因-戈尔登方程还有一个额外的贡献，这告诉我们，包括那部分在这里，我们不再有那个应力-能量张量是守恒的。所以这个自旋-2 场和标量场之间的相互作用，正是我们所追求的，直接破坏了标量场的应力-能量张量的偏导数守恒，所以我们在有这个项的情况下，不再有线性化微分同胚不变性，对称性被破坏了，不再有规范不变性，因为当我取 $h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} + \partial_\mu \partial_\nu \phi$ 时，这是不变的，这不依赖于 $h_{\mu\nu}$，所以我们有这个，但是这个，当我切换 $h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_\nu$ 时，有一个项只有在经过分部积分后，我能有 $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$ 时才会消失，但这不再是零，因为两者之间的相互作用，所以在这种情况下，线性微分同胚（diff）被破坏了，线性微分同胚的破坏告诉我们，本来存在于 $h_{\mu\nu}$ 中并且由于我们在这里拥有的线性规范对称性而被移除的额外自由度，在那里不再被移除，所以它们变成了动力学的，病态的，不稳定的自由度。这是我们不能有的。所以这个理论本身是不一致的。这个理论是病态的，并且携带我们无法容忍的鬼自由度。所以一个自旋-2 场引力子与一个标量场耦合的朴素理论本身是不一致的，因为在那个阶上能量守恒失效了。嗯，我们在这里有的应力-能量张量，如果它是由来自那里的动力学自由度 $\phi$ 构建的，那么这就不再守恒了，你会有一些对它的修正，像 $h/m_{\text{plank}}$ 这样的，这直接意味着线性微分同胚在同一阶上被破坏了。
所以背后的解决方案是用同一阶的非线性修正来补充对称性，即线性微分同胚。所以原则上，我们需要说，对称性不再仅仅是这个，它在那个阶上有一个修正，这使我能够，现在这里的一些项会抵消我那里的新修正，但一旦我包含了那个新的相互作用，我将需要把这个推广到所有阶。所以这里的东西将开始在这里和那里引入新的项，这些项需要在 $h^2/m_{\text{plank}}^2$ 阶上被抵消。所以我需要引入一些平方修正到那个对称性，然后那些将引入在 $h^3/m_{\text{plank}}^3$ 阶上不满足对称性的新项，所以再次我需要在这里引入另一个，等等等等。
所以恢复一个自洽理论，其中我可以将一个有质量或无质量的自旋-2 场，这完全不重要，与任何其他动力学自由度耦合的解决方案是，将规范对称性提升为一个完全非线性的对称性，其中，而不是仅仅有线性微分同胚，我有一个无限数量的修正，它们是导数算符修正，作用在越来越高阶的 $H/m_{\text{plank}}$ 和对称性参数上。所以为了让理论在这种完全非线性的规范对称性提升下保持不变，它告诉我们相互作用本身不应该仅仅是像我们之前那样在 $h_{\mu\nu}$ 中是线性的，而且我们将需要适应这里出现的高阶项。所以我将需要在 $H$ 和标量场之间有二次、三次等等的相互作用。一整套无限的非线性相互作用。同样，对于自旋-2 动能项也是如此，因为对称性不仅不再是那样了。它有这个无限数量的项来适应这个项在一阶时对称性的失效。我将需要在那里引入一个更高阶的，等等等等。所以我将需要在自旋-2 场本身的动能项中引入无限数量的项。你可以把这看作是引力场携带的能量。所有这些修正本身，即使那是我们所需要的全部。事实上，将一个自旋-2 场与任何其他东西自洽地耦合，直接意味着你需要有一个根本上非常非线性的东西，并将你的对称性提升为一个非线性的对称性。
所以它迫使你把你作为线性状态对称性的东西，$h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} + \partial_\mu \xi_I$，提升为一个完全非线性的东西。
事实上，我们从群论的角度知道，线性微分同胚，这个对称性作为一个G对称性，只有两个非线性表示。所以这可以被嵌入到两种非线性的方式中。第一种是平凡的非线性情况，也就是线性的情况。你要么恢复，你只是决定保持它完全线性。这本身是一个一致的对称性，但你知道，如果你想保持线性对称性，那么唯一的可能性是你的自旋-2 场不与任何其他动力学自由度相互作用。所以在这种情况下，你有一个无相互作用的理论。它是一个完全孤立的解耦系统。所以这里的 $h_{\mu\nu}$ 不能是引力。所以这本身是完全一致的，但它非常无聊，因为它与我们能够相互作用的任何东西都完全解耦了。如果我们想要与这里的 $h_{\mu\nu}$ 相互作用，你就需要依赖于线性微分同胚的另一个非线性表示，也就是完全非线性的微分同胚不变性，也称为完全协变性或完全坐标变换不变性，其中，这个 $h_{\mu\nu}$ 实际上只是度规中的线性部分，而这个变换的参数是一个完全坐标变换不变性中的线性参数，以这种形式。所以展示如何从这里恢复完全非线性的微分同胚，以及从所有可能项在一阶的展开中逐阶恢复完全非线性的广义相对论，在精神上，它的精神已经被证明，呃，由温伯格（Weinberg）等人证明，你可以在费曼讲义中找到一些，但没有人完全非线性地做这件事，真正被证明的只是方法的精神，在那些论文中，特别你可以回到，它没有在那篇论文中展示，但斯坦利（Stanley）在那篇论文中重写了它，你可以看到，所以我强烈鼓励你看看那篇论文，然后温伯格也展示了这个，大约60年前，60年前。那已经是很久以前了。
嗯，好的。所以，如果我们加上一个限制，即作用量最多只包含两个导数，那么耦合一个自旋-2 场，无论它是有质量还是无质量，唯一的解，事实上，是一个唯一的解，那就是广义相对论，其中我们之前写的动能项有一个完全非线性的嵌入，最终成为完整的爱因斯坦-希尔伯特项，你可以看到你之前有的 $h \mathcal{L} h$ 实际上是完整的爱因斯坦-希尔伯特项中的二次项，标量曲率，你将标量场协变地与度规耦合，其中度规是 $h_{\mu\nu}$ 以这种形式写出的，这不需要是线性的分解。现在这是完全非线性的。
我知道没有人说 $h_{\mu\nu}$ 必须很小或者其他什么。这是完全非线性的，你可以看到线性的规范对称性 $h_{\mu\nu} \to h_{\mu\nu} + \partial_\mu k^\nu$ 扩展到完全非线性的微分同胚不变性或协变性，其中，你可以认为这里的 $h_{\mu\nu}$ 是在那里构建的，以那种特定的方式变换，所以现在如果你假设你在线性层面上工作，那么你会恢复这个对称性，但这本身是完全非线性的。但你仍然可以把 $h_{\mu\nu}$ 看作是自旋-2 场的自由度。没有人告诉你这必须是一个在任何东西中都是线性的理论。$h_{\mu\nu}$ 必须很小。然后，最终，在这个坐标变换不变性下，它必须变换标量场。但当然，你知道这对于任何你想要的其他场是如何工作的。所以从有效场论的角度来看，我们原则上可以添加无限数量的导数算符和宇宙学常数，也应该是一个更低维度的算符到这个理论中。但这不改变一个事实，即为了确保理论不携带任何奥斯特罗格拉德斯基（Astrogatski）病态的自由度，你需要有对称性，在这种情况下是完全协变性，作为结果强加给你。所以这与爱因斯坦在推导爱因斯坦-希尔伯特理论时提出的思维方式相反，他将协变性作为广义相对论的一个支柱，理论是建立在这个支柱之上的，在这里是反过来的，我们只是要求一个场论在闵可夫斯基空间中是一致的，如果我们想以一种稳定的方式将它与一个动力学自由度一致地耦合，那么我们必须将线性的规范对称性提升为完全协变性，所以我们最终得到了广义相对论作为唯一的可能性，作为结果。
嗯，所以让我总结一下我们到目前为止所拥有的，然后我认为这将是休息的好时机。嗯，所以我们到目前为止所做的所有事情都纯粹是经典的，我们所做的是将广义相对论恢复为对于一个局域和洛伦兹不变的无质量自旋-2 场的唯一的经典场论。所以它是无质量的，因为我们没有为自旋-1，自旋-2 场引入质量。原则上我们可以，那是一个完全不同的故事，我们可以深入探讨。但即使我们想为自旋-2 场引入一个质量项，它也不改变这个结构是完全锁定的事实，我们对此无能为力。动能项和自旋-2 场与外部动力学自由度之间的相互作用必须在特定对称性的框架内，这个对称性必须是完全非线性的不变性或协变性，你不能在那个层面上破坏对称性。
嗯，当然，我们知道广义相对论是一个不可重整化的理论。嗯，所以这不会是理论本身的完整答案。呃，但我们可以添加一些算符，这就是我们下一部分要做的。嗯，这将仍然使我们能够在足够低的能量下为引力做出可预测的经典和量子计算。我也强烈鼓励你们看看这些关于广义相对论作为有效场论的精彩综述。这是 Cliff Burgess 关于有效场论概念的，这是 John Donoghue 关于广义相对论作为有效场论的。
现在，尽管，让我很快地说一下，在我们真正开始更普遍地构建引力的有效场论之前，尽管我们所做的一切都是完全经典的，尽管我们知道广义相对论本身是一个不可重整化的理论，我不会去证明这一点，但我相信你们都知道，这并不意味着我们不能把我们所做的一切都看作是一个量子有效场论，把广义相对论看作是一个量子有效场论是绝对没有问题的，其中我们正在处理的这个 $h_{\mu\nu}$ 自由度可以是一个量子，事实上，没有其他选择，事实上它是一个量子场，必须是量子的，实际上，即使，哦你可能，那已经是很多年前了，那是12年前了，对于你们中的一些人，还记得那个时候你们可能还很年轻，当 BICEP 的结果在2014年出来时，我相信是这样，他们认为，嗯，B 模偏振被探测到了，这是毫无疑问的，当时人们认为这些 B 模偏振实际上是原始引力波的迹象，所以天空中探测到 B 模偏振的事实，这没有争议，争议在于这些是尘埃的迹象还是原始引力波的迹象。后来证明不是这样。但思考探测到与原始引力波相关的 B 模偏振是绝对没有问题的。那些原始引力波实际上是由宇宙最开始时的量子涨落产生的引力波。所以我们正在处理的自 spin-2 场，我们正在处理的引力波，把它看作是一个量子化的场是绝对没有问题的，人们在做宇宙学时每天都在这样做，思考自 spin-2 场的量子含义。所以这只是想说，把引力看作是一个量子场论，并量子化自 spin-2 场是绝对没有争议的。真正的问题是，当我们思考在非常高能量尺度，接近普朗克尺度本身的环境或情况或实验中，一个量子引力理论会发生什么。但如果你把它看作是足够低的能量，你可以把广义相对论看作是一个量子自 spin-2 场的理论，并研究量子自 spin-2 场的影响，这有一些预测性的含义。
嗯，让我，是的，我将在这里停下，然后我将开始构建广义相对论的有效理论，在休息后的一秒钟。所以我认为我们现在可以休息一下。 抱歉，让我看看，因为是的，没关系。 理论。
所以关于我们将如何构建有效理论的一些指导原则。首先，我们希望保持幺正性，这将是主要的指导原则之一，我认为无论高能完备理论是什么，无论是量子引力还是其他一切，我们都希望物理学作为一个幺正过程出现。这意味着我们希望在所有能量尺度上，物理学都由一个幺正的理论来表示。这告诉我们，我们希望哈密顿量是厄米的，因此我们将从一个实拉格朗日量开始。然后，我们将考虑在特定能量尺度以下的能量过程，我们称之为截断（cutoff）或能量尺度，我们称之为大写 $M$。所以能量守恒意味着我们不能产生超过那个尺度的重粒子的经典态。当然，虚的重粒子可以存在足够短的时间，至少在圈图中是这样，只要涉及的尺度相对于该尺度是受抑制的。这意味着，如果你把一个低能有效理论看作是一个展开，它应该是动量的幂次展开，这些动量被尺度 $M$，大写 $M$ 所抑制，这个尺度之上我们不考虑产生物理自由度。所以我们将把我们的低能有效理论组织成一个导数对我们感兴趣的尺度的幂次展开。嗯，所以朴素地看，修正永远不会在低能有效场论的有效性范围内太大。嗯，然而，在我们的引力有效场描述中，我可以有，我将明确展示这一点，一些可能是更高阶导数，导数阶数很高的项，这与直接在动能项层面有更高阶导数非常不同，在那里没有办法驯服与此相关的奥斯特罗格拉德斯基（Astrogadsky）不稳定性。现在，当我们处理被有效场论截断所抑制的高阶算符时，我们认为它们是微扰的。我们认为它们与低阶算符相比是小的。所以即使它们带有更高阶的导数，我们可以微扰地处理它们，它们不会给我们带来病态的自由度，特别是与这些高阶导数算符相关的奥斯特罗格拉德斯基（Orgas），在微扰意义上，它们会在有效理论的截断尺度上出现，所以根据定义，它们超出了我们所描述的有效理论的有效性范围。
并不是说那些与这些高阶导数项相关的自由度，比如鬼自由度，与在高能尺度上出现的额外自由度是一一对应的，无论那里的自由度是什么。相反，它们只是从低能角度标志着微扰展开的破坏。然后，当我们进入高能尺度时，所有的自由度都会出现，但两者之间并没有直接的对应关系。所以我们现在想做的事情更直接地与我们之前拥有的东西联系起来，我们将使用我们一直推导至今的对称性作为我们将如何构建我们的引力有效场论的指导原则。所以我们有一个最终的，我们都知道并热爱的，或者我们希望知道并热爱的万物的完备理论，它可能在普朗克尺度或者稍微低于普朗克尺度，弦尺度或者类似的尺度，我们没有直接的途径接触它。今天我们在宇宙学尺度上做实验，这个尺度可以一直低到 $10^{-32}$ 电子伏特，一直到我们有来自 LHC 在 TV 级的信息，我们甚至有来自化学爆发的信息，那是很高的能量尺度，但所有这些，一直到我们认为是伽马射线爆发的，例如，这仍然在一个低能的引力描述框架内，一个低能的万物描述，我们可以把它看作是广义相对论加上引力的潜在红外修正，在微扰的意义上，它捕捉了高能物理在我们低能描述上的印记。所以所有来自尺度 $M$ 的重模式，抱歉，有时我称之为小写 $m$，有时是大写 $M$，但它们是同一个尺度。所以从尺度 $M$ 到普朗克尺度及以上，无论那里的表示是什么。你甚至不需要在某个尺度之前用场来表示事物。它可以是不同的表示。但只要我能想到一个概率性的，一个量子概率性的振幅，我就能将所有这些物理学推断到我们低能有效场论上的印记。所以这样我们就可以用那些低能有效理论来与太阳系中发生的事情，引力波发生的事情，黑洞周围光线弯曲发生的事情，或者任何类似的事情进行比较。
所以高能理论将涉及引力，并且在某个尺度上可能涉及一些轻和重的模式，但是，嗯，在那之上，可能我甚至不能为我想描述的东西写下一个路径积分，或者也许我应该只考虑振幅，这不太重要，但同样，原则上我们想做的是积分掉所有在高能区发生的物理，并推导出对于一个低能引力描述的影响，这个描述在我们积分掉的重场的尺度 $M$ 以下是有效的，所以情况是，原则上，当你探测引力时，例如，你可以在一个足够短的时间和空间内探测到来自重模式印记的一些效应，那些模式可以是一个无限塔的高自旋，它们可以在圈图层面出现或者其他任何方式。我不太想知道太多细节，但所有那些高能物理的动力学都被印记在我们低能有效理论的修正上。所以是我们低能有效理论中的高阶算符。所以我们有一个低能的引力有效理论，在被积分掉的场的尺度 $M$ 以下有效，加上所有轻的自由度，可以是光子，也许还有标准模型的所有场，取决于我们工作的尺度。
所以稍微更具体一点，但也不是太具体。嗯，如果你确实在某个尺度上有路径积分，它将涉及一个作用量，是引力的，一些重模式的，还有一些轻模式的，例如光子和可能标准模型的所有场，你积分掉所有重模式，得到一个低能的有效作用量。那实际上只是所有重模式的积分。你可以在树图层面积分。你可以在圈图层面积分。所以你作为低能有效场论（EFT）会得到的效果将取决于你所想的紫外（UV）完备理论的种类。也许在某种程度上，思考有更高自旋的完备理论更容易也更难。如果你思考更高自旋的影响，在某种程度上更容易，因为它们可以从树图层面就开始贡献，树图层面的效应是主导的。所以在某种程度上更简单，但当然，你处理的是一个无限塔的更高自旋，如果你这样做，所有那些更高自旋塔在低能有效场论上的效应将是一个算符的展开。这些只是象征性的修正。嗯，但它们必须是局域的，必须是实的，并且必须满足和我们第一项相同的对称性水平。所以它们必须是协变的。所以它们实际上是由里曼曲率和曲率的协变导数构建的，它们每一个都被你积分掉的最轻的有质量最高自旋的质量所抑制，但那是它们唯一被抑制的东西，并且你前面有一个 $m_{\text{plank}}^2$ 的总幂次。现在那不是你能在你的低能有效场论上得到高能物理印记的唯一方式。你还有，例如，如果你在低于电子质量或希格斯质量的能量尺度工作，在那个能量尺度以下，你会有来自这些有质量场，自旋小于二的有质量场的圈图，它们在树图层面有贡献。它们不改变引力的结构。所以它们不贡献，但在更高阶，在圈图层面，它们有贡献。嗯，如果你想，当你思考一个更低自旋的场和圈图层面时，它确实在圈图层面对应于一个完整的更高多极矩的叠加，因此它们有效地看起来像来自更高自旋的贡献，但它们是在圈图层面出现的。所以当这些场出现时，它们直接被你积分掉的场的质量所抑制，而没有普朗克尺度在前面，所以这些圈图的效应与更高自旋的效应相比是受抑制的。所以如果在一个特定的质量尺度上，你既有更高自旋出现，也有更低自旋的标量场和矢量场以及费米子出现。更高自旋的效应因为它们在树图层面出现，将会比它们在相同质量下出现的更低自旋的圈图的效应增强。但当然，这也不是预期的。呃，我们预期会有标准模型，它已经带有更低自旋的场，你有来自更低模型的修正，可能被不是更高自旋态的场捕获，只有当你开始在非常非常高的能量尺度工作时。也许会有我们的更高自旋态塔的开始，但那些可能在一个比更低自旋态高得多的能量尺度出现。所以在实践中，第一个修正会从哪里来，并不完全清楚，是来自更低自旋的圈图还是来自更高自旋的树图贡献。所以原则上，我们需要考虑两种方法，并且根据情况，一种比另一种更相关。
所以总的来说就是这个想法，因为我们正在考虑有效场论，原则上我们需要包括所有一致的、局域的、实的、并且与我们工作的对称性一致的算符。所以它是各种由标量曲率、里曼曲率的收缩以及曲率的导数构建的修正，直到场被定义为止。
现在如果我考虑，有些人这样做，我有时也这样做，也许你对此感兴趣，如果你想考虑真空中的解，黑洞解，那么真正相关的项不是那些，高斯-博内（Gauss-Bonnet）项在四维空间中不出现，然后那些可以通过定义移除，所以第一个出现的是里曼三次方项，然后你有一个里曼四次方项，在这里我尽可能乐观，所以，嗯，我认为它们可能出现的最低尺度就好像它们在树图级别出现一样，那真的对应于拥有更高自旋态，所以它们被前面的普朗克尺度增强了，所以从低能有效场论的角度来看，如果我们考虑真空解，GR作为有效场论的算符修正，这些是我们应该考虑的修正类型，任何其他东西实际上都是引力本身的低能修正。嗯，所以你当然可以开始在引力中包含新的自由度，或者它如何与物质部分相互作用，但那通常是引力的低能红外修正，而不是高能物理在我们低能有效理论上的印记，这两者是相当不同的现象，特别是，一个是微扰的，那些是微扰的，并且只在达到尺度 $M$ 之前看那些修正，当那些开始变大时，我必须停止，特别是我不应该担心这里出现的高阶导数，而低能的引力修正，它们带着自己的低能自由度出现，有时可以有它们自己的非常非平凡的非线性实现，那不是我在这里要处理的事情。
让我稍微谈谈高阶导数算符，因为我认为这很重要，并且对于理解为什么它们在这里是可以的，以及我们应该如何在这里处理它们，与当那些直接在红外理论本身和红外理论本身的自由度层面上出现时相比，非常重要。嗯，所以只要我们把它们当作微扰处理，它们就无害。嗯，我们可以在引力本身的层面上处理它。如果我只是象征性地向你展示如何在标量场理论的层面上思考它，会简单一些。但同样的哲学对于引力也完全适用。我们可以做到。那完全没有问题。但在标量场理论的背景下思考它会简单一些。所以让我假设，这的等价物是动能项。那的等价物是质量项。然后原则上，所有那些出现的，看起来像是高能物理对我低能有效理论影响的算符的等价物，被所有我能写下的局域，实数和标量项所捕获。实际上在这里，如果我考虑一个平移对称的 $\phi \to \phi + \text{constant}$ 的理论，那么我能写下的算符是那些也满足平移对称性的算符，我只是把它们写成一个微扰展开，以导数除以截断 $M$ 的幂次的形式，所以我在一个给定的阶停下，我可以继续下去。
所以那里有不同类型的算符，我们如何处理它们取决于它们。第一件事是，任何有 $\Box$ 在里面的算符都可以被直接协变地通过场定义移除，这是因为对于那个理论，在运动方程的低阶，它满足这里的 $\Box$ 是零，或者 $\Box$ 等于源，所以随着那些的修正，运动方程在 $\Box$ 的阶是 $1/M^2$ 数量级，这里有导数。这意味着我们可以通过场定义移除所有那些。例如，对于这个特定的例子，如果我将 $\phi$ 移动到 $\tilde{\phi} - \Box \tilde{\phi}/M^2$ 这里，然后一个 $\frac{1}{2}$ 来吸收这个。那么从那里的动能项，我将有一个相同的 $\tilde{\phi}$ 的动能项，然后交叉项会给我一个 $-\Box \tilde{\phi}^2$，它会直接抵消那个，另一个交叉项会给我这个。嗯，它会直接抵消那个。所以通过一个平凡的场定义，我们总是可以移除任何像 $\Box \phi$ 这样的算符，我们可以在振幅的层面上很容易地理解这一点。如果我在振幅的层面上有一个像 $\Box \phi$ 这样的算符，那么它会给我们的贡献是像 $p^2$ 这样的东西，但对于一个无质量的场，就像这里的情况一样， $p^2$ 可以被换成 $m^2$，所以是零，所以它不会对振幅给出任何贡献，这些都不会对振幅给出任何贡献，振幅最终是物理的东西，嗯，如果它是有质量的，我也可以用低阶算符替换那些，所以这可以被替换成 $m^2$，这也是我们在振幅层面上会得到的。
所以这意味着所有这些算符都可以通过平凡的场定义移除，并且不是真正的物理的，它们不给我们任何东西，现在我们可以协变地做，甚至我们可以对引力也这样做。所以在引力的有效理论中，任何涉及爱因斯坦张量本身与任何其他东西的收缩，当然也包括标量曲率，都可以通过定义平凡地移除，我们不需要考虑它。所以这就是为什么真正与引力的有效场论，非平凡的有效场论相关的是里曼项。
现在还有其他形式的算符，例如，它们是物理的，它们会导致对振幅的非平凡贡献。这是低阶导数。所以即使它可以保留，然后我们还有其他这种形式的算符，它们是更高阶导数，我不能完全通过场定义移除。所以它的一部分是物理的，并且例如在振幅的层面上导致非平凡的贡献。然而，我们不应该担心那里存在更高阶的时间导数或更高阶导数，那不是相关的部分。嗯，实际上，这里更高阶的时间导数本身可以被移除，这次不是通过协变定义，但仍然是通过一个场定义，只要我们微扰地处理它。所以在这里，为了简单起见，让我举一个二维的例子，只是因为我不想一直写下去。所以这个 $(\partial \phi)^3$ 项包括了二次时间导数的立方项，然后是二次时间导数的平方，二次时间导数，以及仅仅是空间导数，你可以在任何维度做这个，但让我只在二维做，保持前面的相同质量项，所以从这里我们看到，那个项和那个项会导致运动方程在时间导数上是高阶的，实际上这两个项都是，但我们可以通过场定义移除它们，在这种情况下，如果我将 $\phi$ 移动到某个不是完全协变但适应时间和空间分解的东西，所以我可以把它移动到某个包含二次时间导数平方的东西，以及那个，所以这个东西和那个东西，然后，呃，然后在场定义中有更高阶算符，更高阶贡献，那么从动能项本身，我最终会得到一些动能项，然后是那个项，它会给我一些通常是二次时间导数的东西，任何其他东西都被推到更高阶，我仍然可以用更高阶的场定义移除，现在这里的这个 $\Box \phi$ 可以进一步通过场定义移除，所以实际上我不需要担心那些更高阶的导数，只要我们可以处理它们，并且我们可以继续这样做，这真的意味着我们不会依赖于，例如，那些更高阶导数是非平凡的，并且把你带到新的解分支的解，这些解与与那个真空的平凡解相关的微扰解分支不连接。我们不允许这样做，因为为了这样做，我们将真正激发这个算符超出其有效性范围。但只要我们微扰地处理它，我们就可以把更高阶的导数带到更高阶，这意味着，嗯，这永远不会激发那些会存在于其中的鬼状病态。
所以考虑到这一点，嗯，让我更具体地写下我们的低能有效理论。所以如我之前提到的，我们从一个有引力，有重场，有轻场的理论的紫外（EUV）部分开始，原则上我们在高能有引力。我们有低能贡献。所以例如那里的光子，然后我们有一个带高场的修正，轻场也可以在那里出现，那不太重要，我们在高能，在紫外理论中有反项，嗯，可能涉及紫外宇宙学常数，一些常数用于标量项，标量项是的，对于希尔伯特项，然后是所有其他项。现在我们要做的是积分掉重的节点，得到一个低能有效场论，它涉及一个新的宇宙学常数。它涉及一个新的爱因斯坦-希尔伯特项，一个新的耦合常数，在爱因斯坦-希尔伯特项，在爱因斯坦项前面，低能，嗯，自由度，然后是一些新的耦合常数，就高阶算符而言。所以开始思考那些会简单一些。例如，红外（IR）耦合常数对应于我们拥有的紫外（UV）耦合常数加上一些从紫外到红外的流，通过那里的这个额外项捕获。那真的是来自从高能到低能积分掉所有模式的结果。原则上，如果我们从紫外积分掉 n 个场到红外，那么对这些项的贡献将与我们积分掉的场的数量成比例，实际上，对于这些是边际的项，也就是在里曼曲率中是平方的项，它们将与我们积分掉的场的数量成比例，对于这里的有效普朗克尺度，它也与我们积分掉的场的数量成比例。所以如果我们，例如，在一个质量 m 处积分掉 n 个场，那么我们在低能时拥有的新普朗克尺度与我们在高能时拥有的普朗克尺度相关，加上场的数量乘以那些场的质量。这直接给了我们物种界限（species bound），它告诉我们，与给定质量 m 相关的场的数量永远不会太大，否则它们对我们确实观察到的低能普朗克尺度的贡献，这实际上是我们做实验的东西，我们用它探测太阳系，我们用它探测当我们把一个苹果扔到地球上时的东西，是这里的普朗克尺度，与牛顿常数相关，所以 R 不能太大，所以我们需要有物种界限，我们不能有太多与给定质量 m 相关的场，那与量子引力的基本时钟尺度或基本截断相关，也就是那个尺度。所以那是一个我们总有的完全通用的界限。
嗯，现在让我谈谈宇宙学常数，我也会稍微谈谈其他场的这个耦合常数。所以我会讨论，今天可能就在这里结束，宇宙学常数的流是什么，但让我只说，对于一些威尔逊系数（Wilsonian coefficients），流的部分，所以这里的这个 delta，那里的这个 delta，以及这里从紫外到红外出现的 delta，可能取决于我们积分掉的场的自旋。所以，呃，你可能知道，例如对于宇宙学常数就是这样，流向宇宙学常数，我们积分掉的场对我们可能观察到的红外宇宙学常数的贡献，取决于我们积分掉的场的自旋，所以它会给玻色子一个正的贡献，给费米子一个负的贡献，这就是为什么如果你有一个完全超对称的理论，对宇宙学常数的贡献将是精确的零。嗯，对于一些其他算符也是如此。所以例如对于里曼三次方项，来自玻色子和费米子的贡献总是带有相反的符号，所以在超对称的实现中，流向宇宙学常数和流向里曼三次方项都是零。嗯，所以在超对称弦理论中，例如，里曼三次方项算符是精确的零。对里曼三次方项没有贡献。然而，在玻色弦理论中，有一个正的流向里曼三次方项，所以这个项在玻色弦理论中总是正的。
所以对于一些其他量，包括那个，我们也可以证明它们，独立于你积分掉的粒子的自旋，对于任何场内容，甚至不需要是场，仅仅通过幺正性，你可以证明从紫外到红外的流应该总是正的，事实上，如果有任何相互作用，是正定的，例如对于外尔（Weyl）平方项就是这样，它是里奇（Ricci）平方和里曼（Riemann）平方项的组合。对这个特定贡献，也就是外尔项的贡献总是正的，里奇-布里曼和标量项的另一个组合也是如此，总是正的，我们可以仅仅通过幺正性证明这一点，通过看贡献，在这种情况下我们在色散关系的层面上做，从紫外到红外总是正的，这不一定意味着它的红外印记是正的，因为你可能从一个在高能时足够负的东西开始，所以即使从高能到低能的流是正的，也不足以补偿初始的起点。但原则上，人们会期望在某些情况下，这个与你沿途积分掉的有质量场的影响相比是受抑制的，因为当你在红外时，你会期望被你积分掉的最轻的有质量场主导。所以例如在 LHC，我们不期望直接测量与量子引力相关的东西。我们期望对任何将是新物理第一个迹象的贡献主要来自标准模型之外的下一个有质量粒子，而不是来自非常高能量尺度的东西。所以我们会期望这个与那个相比被非常抑制，这就是为什么我们会合理地期望红外量，至少对于那些，是正的，但这并不是我们原则上可以证明的东西，在某些情况下我们可以看到它必须是如此负，以至于不足以补偿从紫外到红外的流的正性，因为我们确实在低能时测量到实际上是负的东西，即使流是正的。
嗯，所以让我更精确地看看我们如何能积分掉有质量场的贡献，让我用标量场的贡献来做，因为它更容易，但原则上我们可以用任何更高的自旋来做，这不太重要。所以让我假设我的重场现在只是一个标量场，我不会考虑任何轻场。我当然可以，但我不会这样做。所以我要看引力之间的相互作用，它嵌入在这里。哦，这里有一个 $R$ 项不见了。抱歉。当然，这里有一个 $R$ 项，然后是标量场和引力之间在这里和那里的进一步相互作用。所以那个标量场可以导致圈图，这些圈图包含对我低能有效理论的修正。原则上，例如，我有一个标量圈，只是为了我的引力子的一点函数和我的这个公式的二点函数。我可以对任何 n 点函数继续下去。我可以看这个有质量标量场的单圈贡献。我可以以一种非协变的方式做这个，就像我们这样。稍后我会以一种协变的方式做，那会容易得多。
所以对于那些 n 点函数中的每一个，a1，a2 等等，我可以计算有质量标量场的圈图贡献。这就是它在这里给我的，对于这个特定的应力-能量张量。然后我只是象征性地为二点函数做这个单圈。所以你有来自标量场的动能项和质量项的贡献，它来自这里的两个顶点。所以你可以得到像 $m^4$ 或 $m^2 p^2$ 这样的项，其中 p 可以是外部动量，或者是 $p^4$，然后你有标量场的圈图。所以这都是象征性的，如果我现在做一个维度正则化，我不会放标量场的截断，因为那会以一种更模糊的方式依赖于它，但我总可以以一种维度正则化的方式做这个，所以我最终得到的是对引力子的一点函数的贡献，它与我积分掉的场的质量成比例。在标量场的情况下，它给了我一个正的贡献给一点函数，这实际上是一个像标量场的质量的四次方这样的贡献，然后是 $h_{\mu\nu} m_{\text{plank}}$ 的迹，我实际上可以把它读作宇宙学常数中的第一项。所以这将与来自二点函数的修正重新组合，现在它也会在数值上像标量场的质量的四次方一样缩放，然后是一个像 $h/m_{\text{plank}}^2$ 这样的贡献。所以这个加上那个，再加上所有到 $h$ 的所有阶的和，对应于我们对宇宙学常数的重整化。然后从这里，我们还会有额外的修正，它们像外部动量的两个幂次一样缩放，那对应于 $M_{\text{plank}}$ 的重整化，就像我们之前看到的。在这种情况下，我们还有来自这里的 $p^4$ 的修正，它们像四阶导数和两个 $h$ 一样缩放，那对应于 $R^2$、里奇（Ricci）平方然后是里曼（Riemann）平方项的重整化，在四维空间中只是一个全导数。
所以我们可以逐阶微扰地做这个。嗯，当我们这样做时，我们从一个完全协变的东西开始。我们破坏，嗯，我们不破坏协变性，但我们以一种不隐含协变性的方式写它，协变性在这种写法中不明确，我们可以计算每一个端点函数，根据协变性，它必须是这样的，但你也可以检查，你重新打包成完全协变的贡献，本身，这在维度正则化中是自动的，我们不需要这样做，但如果你想稍微更，呃，严谨一点，你可以做的是直接对标量圈做单圈积分。嗯，所以为此，让我现在在欧几里得形式下工作，为了简单起见，一会儿，这只会帮助我做积分，我们可以回到，所以如果我想，例如，看宇宙学常数，抱歉，标量圈对单圈有效作用量的影响，对于宇宙学常数的重整化，所以我们将有来自这个的贡献，来自这个的贡献，然后是各种我没有写下来的东西。我可以直接在领头阶做这个积分，通过，嗯，我只看作用量相对于有质量场的二阶导数，然后这在有质量场中是二次的。所以我可以直接做这个高斯积分，答案是众所周知的。你可能已经在任何有效场作用量的背景下看到了，也许不是在引力的背景下，但你可以做这个，它给了你科尔曼-温伯格（Coleman-Weinberg）有效作用量，其中有效作用量，嗯，它在指数中，当你把它放到指数中时，你得到这个算符的行列式的对数，所以是作用量相对于场的二阶导数的行列式，你可以把它写成那个场的对数的迹，我们只需要计算这个对数的迹。这里的迹是在希尔伯特空间中的。所以我们可以通过到动量空间来做，那个迹真的对应于作用量相对于场的二阶导数的对数的所有动量的积分。所以那对应于标量场的动能项。这是标量场的动能项加上质量项，呃，你有的，你在这里有的。现在更容易，这也是在欧几里得空间做它更容易的原因之一。我们可以用很多不同的方式做这个积分。但一种方法是简单地改变变量。我要对角化这个动能项来吸收度规。所以我要在动量空间重新缩放。以便，嗯，这个范数实际上是欧几里得空间中的平凡范数。
在做这个变量变换时，我们吸收了大小，呃，我们把那个测度吸收到了测度中，我们最终从 $d^4k$ 的测度中得到了雅可比行列式的平方根。所以这就是度规的行列式的平方根出现的地方。在这种情况下，它是欧几里得的，但之后你可以在洛伦兹空间做，或者如果你想，可以做威克旋转。所以把所有这些放在一起，有效单圈作用量，在你可以在标量场的小导数下工作的情况下。所以这是在外部动量很小的情况下，这是有效作用量中最低阶算符的领头贡献。你最终得到的是度规的行列式的平方根，然后是这里的一个完整的积分，在维度正则化中，它只能取你正在积分掉的标量场的质量的尺度。所以根据维度，这必须像质量大写 $M$ 的四次方一样缩放，然后剩下的都只是积分的一部分，那是从你引入的重整化尺度来的流。所以这告诉你，物质圈的积分，无论那些圈是什么，总是像这些物质圈的质量的四次方乘以行列式的平方根一样缩放，然后你有这里的流，这就是宇宙学常数问题的起源。你总是最终得到一个像你正在积分掉的场的质量一样运行的流。所以宇宙学常数问题已经是关于标准模型的已知粒子的问题。仅仅从电子质量本身，你对单圈有效作用量中的宇宙学常数就有一个贡献，它像电子质量的四次方一样缩放，希格斯场本身也是如此。所以超越标准模型，可能是你有超越标准模型的超对称，那样的话，每个费米子和每个玻色子对标准模型尺度或例如 TV 尺度的有效宇宙学常数的贡献，当你从红外从紫外流向电子数据记录器时，将从标准模型之外的所有圈中给出精确的零贡献。但我们知道 Suzie 在我们这里工作的框架内是破缺的，我们知道 Suzie 在标准模型内是破缺的。所以仅仅从希格斯场的圈图，我们已经知道，我们应该对单圈有效作用量对宇宙学常数有一个贡献，它应该像希格斯质量的四次方一样缩放。所以仅仅从我们确实知道的打破超对称的已知粒子中，我们已经有一个对宇宙学常数的贡献，大约是 100 吉电子伏特的四次方，这比暗能量的有效尺度或用来解释宇宙晚期加速的观测到的宇宙学常数的有效尺度大了 56 个数量级。所以宇宙学常数问题不是量子引力的问题，也不是在非常高能量尺度发生的事情的问题。所有这些都可能抵消掉。你可能在标准模型之外有或没有超对称，那可能让问题变得更糟或不更糟。但仅仅从希格斯质量的出现一直到更低的尺度，我们知道我们通过那些单圈积分对宇宙学常数有贡献，这已经大了 56 个数量级。只有当你想象你有超越标准模型的贡献，带有质量一直到普朗克尺度的有质量场，你可能最终得到一个像普朗克尺度的四次方一样缩放的对宇宙学常数的贡献，你最终得到一个 120 或 124 个数量级差异的宇宙学常数问题。所以，但是，在现阶段没有理由相信这一定是这样，因为我们还没有观察到任何超越标准模型的东西，如果我们观察到了，它可能以一种超对称的方式出现，或者它可能以一种特定的方式出现，计数了在这个层面上对圈的所有贡献。我们确实知道的是，有一个 56 个数量级的差异。
嗯，所以我想我的时间不多了。让我，也许我可以到这里。让我看看。呃，我接下来想做的是看看这些不同类型算符对引力波，对黑洞物理的影响，以及如何利用因果性要求来区分它们。但我认为我没有多少时间了。所以也许我只会，嗯，让我只说这张幻灯片，我认为它很有趣，然后我会在那里停下来。嗯，所以对于引力的有效场论，呃，宇宙学常数问题是房间里真正的大象，还没有被解决。我们等着你们去解决它。让我暂时把它放在一边。所以如果我忘记宇宙学常数问题，并且我假设它会以某种方式解决，那么如果我考虑真空中的解，我需要担心的相关算符是六维算符，即里曼三次方算符，它只有在实现是非超对称时才存在。所以，呃，例如在玻色弦理论中，但否则在超对称弦理论中，那不会存在，原则上从有效场论的角度它仍然可以存在，以及这些形式的八维算符，所以所有这些算符都有影响，呃，希望在不远的将来通过引力波可以观测到，或者通过它们在引力波的旋进阶段的印记。呃，当人们做这个时，特别是这个，它必须是这样的，呃，要有任何有意义的影响，你需要截断足够低，以便效应足够大，然后这意味着，实际上，有效理论在两个黑洞或两个物体合并之前就失效了。所以你只能描述它旋进阶段的一部分，然后你必须停止，然后假设有其他东西进来。
呃，人们也研究了这些算符对准简正模的影响，现在我没有在这里放任何参考文献，但人们正在寻找准简正模的符号和你期望从紫外到红外的流得到的那些系数的符号之间的联系，还有波形约束，还有对弯曲和，嗯，黑洞阴影的约束，来自引力的有效场论的不同修正。所以让我在这里停下。嗯，我不会讲剩下的内容，让我只在这里结束。也许引力的有效理论提供了一个完全不可知论的，不偏向于你想要做哪种紫外完备理论的方法。它甚至不需要在紫外中包含场本身，嗯，但在假设更，嗯，一个基本的庞加莱不变性的概念，因为任何庞加莱不变性的破坏，呃，人们会期望即使在高能区，在低能区也会有一些印记，这可能潜在地对标准模型和伽马射线有影响，呃，对洛伦兹不变性破坏的约束现在真的到了非常非常高的能量。嗯，所以假设庞加莱不变性和假设幺正性，我们可以得出一个相当普遍的引力低能有效场论，它是一个不同类别算符的展开。嗯，我们通常会期望那些算符被极度抑制，但它们可以为我们提供一个机会之窗，与未知的部门联系，特别是与只通过那些曲率算符连接的暗部门。
嗯，对于六维算符，这是我们期望观察到的第一个，它们出现的尺度将必须与暗部门中超对称破缺的尺度紧密相关，因为如果你有保持超对称的算符，对那个的贡献将是零，在写下引力的有效场论时，一个主要的贡献是对宇宙学常数的贡献，我甚至没有在这里写下来，它仍然没有被解决，它本身不是关于紫外完备理论的问题，而是已经是一个关于理解标准模型的圈图应该如何对宇宙学常数做出贡献的问题，以及我没有在这里写下来的东西，但我们可以从这个过程中已经推导出物种界限，在给定的尺度 $M$，我们知道生活在那里的场的数量必须受到普朗克尺度的限制，否则对新的重整化普朗克尺度的贡献将太大，呃，我就在这里停下，我想，抱歉超时了。